ECUACIONES E INECUACIONES - MATEMÁTICA

ECUACIONES E INECUACIONES: PRIMER GRADO, SEGUNDO GRADO Y POLINÓMICAS


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VÍDEOS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER, SEGUNDO GRADO Y POLINÓMICAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO
1) Planteamiento de ecuaciones, del lenguaje escrito al lenguaje matemático: VÍDEO

2) Cómo resolver una ecuación de primer grado: VÍDEO

Vídeos de ecuaciones de primer grado
Ecuación de primer grado ejercicio 1: https://youtu.be/nBJ_6QQtT7U
Ecuación de primer grado ejercicio 2: https://youtu.be/EPlFDP71yAw
Ecuación de primer grado ejercicio 3: https://youtu.be/4YOd4nvW_jM
Ecuación de primer grado ejercicio 4: https://youtu.be/NVJpDCzgLjM
Ecuación de primer grado ejercicio 5: https://youtu.be/TXAfllxBClI
Ecuación de primer grado ejercicio 6: https://youtu.be/lRy0TKbUdaY

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
1) Ecuación de segundo grado: discriminante y casos: VÍDEO

2) Ecuación de segundo grado: VÍDEO

3) Cómo completar cuadrados (1): VÍDEO

4) Cómo completar cuadrados (2): VÍDEO


NUEVO (ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO)

1) Ecuación de segundo grado por aspa simple:     VÍDEO

2) Ecuación de segundo grado por el método de aspa simple:     VÍDEO

3) Ecuación de segundo grado por fórmula general:     VÍDEO

4) Ecuación de segundo grado con raíces complejas: VÍDEO

ECUACIÓN POLINÓMICA
1) Ecuación polinómica: VÍDEO

INECUACIÓN DE PRIMER GRADO
1) Inecuación de primer grado con una incógnita: VÍDEO

INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
1) Inecuación de segundo grado – método didáctico: VÍDEO

2) Inecuación de segundo grado: VÍDEO

1.      ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica o satisface para determinados valores de sus incógnitas.
PROPIEDADES
  Estas propiedades se conocen con el nombre de teoremas nos servirán para resolver las ecuaciones.
a) Si a ambos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad la igualdad se mantiene.

b) Si  en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
c) Si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por una misma cantidad la igualdad se mantiene.
d) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Los cuatro teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una ecuación, es necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y multiplicación de los números reales y otros teoremas.

2.      ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma: ax + b = 0

COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
    1.- Se suprimen los signos de agrupación o colección si es que hubiera, efectuando las operaciones que se presenten.
  2.- Se efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, preferentemente en el primer miembro. Aplicando las reglas  y/o axiomas.
   3.- Las constantes se pasan al miembro donde no está la variable. Es decir, al segundo miembro. Aplicando las reglas ya mencionadas.
   4.-Se reducen los términos semejantes y se opera las constantes para luego despejar la incógnita o variable.
         Ejemplo:
      
         Solución
         Calculamos el m.c.m. de los denominadores
         m.c.m.(3;4;2) = 12
         Multiplicamos a todos los términos de la ecuación por el m.c.m., en este caso 12.
                 VÍDEO DE ECUACIÓN DE PRIMER GRADO EN YOU TUBE:

3.      SISTEMA DE ECUACIONES
SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
ax + by = c ....................Ecuación (1)
dx + ey = f .....................Ecuación (2)
         Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve por los métodos: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss-Jordan etc.
     Ejemplo:
     Soluciones:

A)  MÉTODO DE REDUCCIÓN
Multiplicamos a la ecuación (2)  por (-2)
B)  MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Despejamos la variable “x” en la ecuación (2)
 
Solución:
Multiplicar a los términos de la ecuación (1) por el m.c.m.(4;5) = 20
Multiplicar a los términos de la ecuación (2) por el m.c.m.(3;4) = 12
Se tiene:
 
VÍDEO RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR GAUSS JORDAN - YOU TUBE:
https://www.youtube.com/watch?v=n7BrtcEQwSE

4.      ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación que se puede reducir a la forma general:
Es necesario determinar el discriminante de una ecuación de segundo grado para determinar que tipo de raíces tiene, complejas o reales.
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita existen varios métodos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos soluciones o dos raíces.
A) MÉTODO DEL ASPA
Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado y el resultado es 0 (cero) o es un número que tiene raíz cuadrada exacta, entonces, se puede resolver por el método del aspa, en caso contrario no es posible resolver por este método.
Para resolver una ecuación de segundo grado por el método del aspa, se factoriza el polinomio aplicando el método del aspa simple. Luego, cada factor se iguala a cero (0), seguidamente se despeja la variable. Los dos resultados obtenidos son el conjunto solución o raíces de la ecuación.

B) LA FÓRMULA GENERAL O FÓRMULA CUADRÁTICA
Cuando una ecuación de segundo grado no es posible resolver por el método del aspa, recurrimos a la fórmula general o fórmula cuadrática. Es decir cuando se obtiene como discriminante un número diferente de 0 (cero) o cuando este número no tiene raíz cuadrada exacta.

Aplicando este método es posible resolver cualquier ecuación de segundo grado.
Ejemplo:
 


C) COMPLETANDO CUADRADOS
Para resolver por este método, el polinomio de segundo grado se transforma hasta convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, luego se despeja la variable “x”.
Ejemplo:
    
    VÍDEO DE ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO - YOU TUBE
   https://www.youtube.com/watch?v=ZTd7QbR2zkM

5.      ECUACIÓN POLINÓMICA

NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio P(x) de grado  mayor o igual que 1, tiene por lo menos una raíz, puede ser real o compleja.
Todo polinomio de grado “n” tiene “n” raíces
         Ejemplo: 
    Resuelve la ecuación polinómica x3 + 6x2 + 3x -10 = 0
    Solución:
    MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para resolver ecuaciones polinómicas  que aceptan como factores a binomios de la forma ax + b, basándose en el principio de la división algebraica, si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor será  (x – a).
         Ordenamos en forma decreciente y completamos el polinomio. 
         Resolvemos como el método de Ruffini, probamos con los divisores del último término, es decir  10: ±1; ±2; ±5; ±10. En este caso cumple con el número -2 

          Se tiene un nuevo polinomio de menor grado. Se continúa como en el caso anterior. Pero esta vez con los divisores de 5: ±1; ±5. Por ser el último coeficiente.
          Ahora cumple con 1. Se continúa:

Los resultados: - 2;  1 y – 5  son los valores que toma “x”
Es decir el conjunto solución es {- 2; 1; - 5}

RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO
TEOREMA DE GAUSS
Dado un polinomio de grado “n” con coeficientes enteros, para calcular las raíces racionales se considera como “p” a los divisores del término independiente y como “q” a los divisores del coeficiente del primer término. Entonces las raíces se obtienen al dividir p entre q.
Ejemplo:

DIRECCION ELECTRONICA DE VIDEOS EN YOU TUBE

1)  Ecuación de segundo grado:

2)  Inecuación de segundo grado: 

3)  Ecuación polinómica:


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Resuelve la ecuación:
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Resuelve el sistema de ecuaciones:
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Calcula el discriminante de cada una de las ecuaciones de segundo grado, interpreta que tipo de raíces tendría cada ecuación y calcula las raíces:
Calcula los valores de “x” en:

Calcula las raíces de las ecuaciones completando cuadrados:


11) Calcula el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no tenga soluciones reales: (m+5)x2 + 3mx - 4(m-5) = 0
12) Determina el conjunto de valores de k para que la ecuación x2+kx=2  tenga dos raíces, una de las cuales sea – 2.
ECUACIÓN POLINÓMICA
Calcula las raíces de las ecuaciones:
13) 6x3 + x2 - 5x - 2=0       14) 20x3 + 24x2 - 11x - 3=0  

6.           INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE
     Una inecuación de primer grado con una variable es aquella que tiene una sola variable (incógnita) con exponente 1.
     Estas inecuaciones son de la forma:
         ax + b >0    ;        ax + b <0   ;        ax + b ≥0             ;        ax + b ≤0

     PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES:

Ejemplo:
Resuelve: 3x – 2  4
Solución
– 2 del primer miembro lo pasamos al segundo miembro como 2
3x ≥ 4 + 2
3x ≥ 6
3 del primer miembro está multiplicando a x, entonces, pasa al segundo miembro dividiendo
  
 Ejemplo: 
  

Solución
Para transformar los coeficientes fraccionarios o racionales en números enteros, calculamos el m.c.m.(3,2;5) = 30
Multiplicamos los términos de la inecuación por 30.
Multiplicando a cada miembro de la inecuación por -1, cambian de signo ambos miembros, además cambia el sentido de la desigualdad.
         

7.      INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
    Una inecuación de segundo grado con una incógnita es de la forma:
     
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Se siguen los siguientes pasos:
a)     Se factoriza el polinomio utilizando cualquier método, luego cada factor se iguala a cero, para luego despejar la variable, obteniendo de esta manera los puntos críticos. Si se aplica la fórmula general, entonces en forma directa se obtiene los puntos críticos.
b)     Se traza la recta numérica real, en esta se ubican los puntos críticos.
c)     Si la desigualdad o inecuación  es > ó < , los puntos críticos son abiertos.
d)     Si la desigualdad o inecuación es ≤ ó ≥, los puntos críticos son cerrados.
e)     La recta real ha sido dividida en tres partes o intervalos, empezamos del lado derecho y anotamos en cada parte o intervalo los signos + y -  en forma ordenada.
f)     Si  el sentido de la desigualdad es < ó ≤ se elige el intervalo que lleva el signo (-).
g)  Si el sentido de la desigualdad es > ó ≥ se eligen los intervalos que llevan el signo (+).
Ejemplo:
Resuelve la inecuación: x2 + x – 6 ≥ 0
Solución
Factorizando el polinomio se tiene
(x + 3) (x – 2) ≥ 0

Se iguala cada factor a cero (0) y se despeja la variable “x”
x + 3 = 0                  x – 2 = 0
      x = - 3                      x = 2


Los valores obtenidos se llaman puntos críticos:
       VÍDEO INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO - YOU TUBE

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE  Nro. 02

       Resuelve las siguientes inecuaciones:
  

8.      INECUACIONES POLINÓMICAS

         Una inecuación polinómica se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raíces.
         Ejemplo:
         Determina el conjunto solución de (x+3)(x-1)2(x+5)≤0
Solución
Se calcula los puntos críticos de cada factor, es decir, se iguala cada factor a                 cero(0).
Los puntos críticos se ubican en la recta real: si la desigualdad es > ó < son abiertos y si la desigualdad es ≤ ó ≥ son cerrados.

Se trazan curvas, desde el lado derecho hacia la izquierda,  tomando como referencia para estas los puntos críticos.
El número uno (1) no es considerado para el trazo de la curva porque esta proviene de un factor que tiene exponente par. Concluimos que cuando el o los puntos críticos provienen de un factor que tiene exponente par, estos no se toman en cuenta para el trazo de la curva.
Luego, a partir del lado derecho se codifican con los símbolos + y – alternando hasta cubrir el último intervalo o curva.
El resultado final puede estar conformado por los intervalos que tienen el código + o por los intervalos que tienen el código -. Esto depende del sentido de la desigualdad. Si la desigualdad es:
> ó ≥  se eligen los intervalos que llevan el código +
< ó ≤  se eligen los intervalos que llevan el código –
En nuestro ejemplo el sentido de la desigualdad es ≤, por tanto, elegimos el intervalo con código –
Pero no debemos olvidar, los puntos críticos que no se tomaron en cuenta para el trazo de las curvas al final, deben ser evaluados. Si el punto crítico es cerrado se toma en cuenta y si el punto crítico es abierto entonces no se toma en cuenta.
C.S. =[-5; -3]U {1}

9.      INECUACIÓN FRACCIONARIA
   
Solución:
         Se trabaja como en el caso de las inecuaciones polinómicas, pero esta vez, los puntos críticos que se obtengan del numerador pueden ser abiertos o cerrados y dependerán de la desigualdad, pero, los puntos críticos que provienen del denominador siempre serán abiertos.
         En nuestro ejemplo los puntos críticos son: x =-4 (cerrado), x =-3  (abierto) y 
          x = 5 (cerrado)
         Después de procesar como en el caso anterior se obtienen el siguiente resultado:          C.S. =  á-a ; -4] U á-3;+ añ
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE  Nro. 03

         Resuelve las siguientes inecuaciones:
    



Vídeo N° 1: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/pXPSXpCdYo8
                    Resuelve:
                    1) x - 5 = 2
                    2) - x + 1 = 3                
Vídeo N° 2: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/huqlrQjX9Ek
                    Resuelve:
                    1) 2 x - 1 = x - 2
                    2) 3 x - 3 = 4 x + 1
Vídeo N° 3: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/AsZAqOhFQZM
                    Resuelve:
                    1) 5 x + 1 = 3 x - 4
                    2) 7 x - 3 = 9 x + 5
Vídeo N° 4: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/SgRpjfvFrIw
                    Resuelve:
                   1) 2/3 x - 1/2 = x + 3/4
                   2) 4/5 x + 3/4 = 1/2 x - 1/3
Vídeo N° 5: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/g9PNPdDaRI0
                    Resuelve:
                    - ( 3 x + 5 ) = ( x + 7 ) - 2               
Vídeo N° 6: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/g2NGBKBq5Tw
                    Resuelve:
                    ( 2 x - 6 ) - x = - ( - 4x + 1 ) + 5
Vídeo N° 7: Ecuación de primer grado: https://youtu.be/emy5t8DFxzA
                    Resuelve:
                    1) 3 ( 2 x - 1 ) = 2 ( 5x + 6 )

                    2) - 5 ( 3 - 4 x ) = - 2 ( 3x + 1 )